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In einer Ebene ist ein Netz aus \(n\) mal \(m\) Parallelogrammen (im Bild 5 mal 5 Rauten) mit starren Seiten, aber drehbaren Gelenken zwischen ihnen aufgebaut. Wie viele Diagonalen muss man einziehen, um alle Winkel zu stabilisieren? Muss man bei ihrer Auswahl etwas beachten?
Wie viele Parallelogramme muss man direkt (das heißt durch Einbauen einer Diagonale) stabilisieren, bis zum ersten Mal ein anderes Parallelogramm indirekt stabilisiert ist?
Wenn drei Diagonalen auf nur zwei Zeilen und zwei Spalten verteilt werden, ist das vierte Parallelogramm in diesen Zeilen und Spalten ebenfalls stabil.
Nennen wir die Parallelogramme (wie die Schachfelder) \(A1, A2\, \ldots, B1, B2 \ldots\) und so weiter. Die ersten drei Diagonalen seien in \(A1, A2\) und \(B1\) gelegt. Damit ist auch \(B2\) stabil.
Das sieht ziemlich aufwändig aus, aber es geht dann sehr sparsam weiter:
Mit \(C1\) stabilisieren wir zugleich \(C2\), mit \(A3\) zugleich \(B3\) und \(C3\), mit \(A4\) zugleich \(B4\) und \(C4\), mit \(D3\) zugleich \(D1\), \(D2\) und \(D4\), und so weiter. Nach den ersten drei Diagonalen brauchen wir also noch \((m – 2) + (n – 2)\), also insgesamt \(m + n – 1\) Diagonalen.
Wie wir die Nummern der Zeilen und die der Spalten verteilen, ist dabei ohne Belang. Es zeigt sich, dass zur Stabilisierung des ganzen Netzes jede Zeile mit jeder Spalte an (mindestens) einer Stelle verknüpft sein muss.
In diesen Bildern sind die Diagonalen Plastikrohre von "irrationaler" Länge mit Ringschrauben von 4 Millimetern Ring-Innnendurchmesser. Die Bilder sind natürlich so aufgenommen, dass nur die stabilen Parallelogramme (hier Rauten) als Rechtecke (hier Quadrate, im Allgemeinen aber Parallelogramme mit festgelegtem Winkel) zu sehen sind. Die hier schiefwinklig gezeigten sind frei beweglich.
Gebäude in Skelettbauweise (Fachwerkbauten) haben bei rechtwinkligem Raster starke Belastungen in den Winkeln der Stäbe oder neigen zum scherenartigen Umklappen. Man begegnet diesen Problemen seit langem durch Diagonalen.
Mit dem Metallbaukasten funktioniert es zum Beispiel mit Rechtecken aus 3 und 4 Lochabständen und mit Diagonalen aus 5 Lochabständen. Man kann aber auch quadratnahe Rauten mit 5 Lochabständen Kantenlänge und Diagonalen mit 7 nehmen. Wer unbedingt genaue Quadrate haben möchte, kann aber auch – wie in den Abbildungen hier – Stangen aus Röhrchen und Ringschrauben als Diagonalen verwenden. Die Gelenke sind in allen Fällen Schrauben mit 2 gekonterten Muttern (vorzugsweise M4).
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